伯努利方程推导(伯努利方程推导过程)

伯努利方程推导

丹尼尔·伯努利在1726年提出了“伯努利原理”。这是在流体力学的连续介质理论方程建立之前，水力学所采用的基本原理，其实质是流体的机械能守恒。即：动能+重力势能+压力势能=常数。其最为著名的推论为：等高流动时，流速大，压力就小。

伯努利原理往往被表述为p+1/2ρv2+ρgh=C，这个式子被称为伯努利方程。式中p为流体中某点的压强，v为流体该点的流速，ρ为流体密度，g为重力加速度，h为该点所在高度，C是一个常量。它也可以被表述为p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。

需要注意的是，由于伯努利方程是由机械能守恒推导出的，所以它仅适用于粘度可以忽略、不可被压缩的理想流体。

假设条件

使用伯努利定律必须符合以下假设，方可使用；如没完全符合以下假设，所求的解也是近似值。

定常流：在流动系统中，流体在任何一点之性质不随时间改变。

不可压缩流：密度为常数，在流体为气体适用于马赫数(Ma)<0.3。

无摩擦流：摩擦效应可忽略，忽略黏滞性效应。

http://www.tongyiwuli.com/hjl1/aaa158.htm伯努利方程设在右图的细管中有理想流体在做定常流动,且流动方向从左向右,我们在管的a1处和a2处用横截面截出一段流体,即a1处和a2处之间的流体,作为研究对象.设a1处的横截面积为s1,流速为v1,高度为h1;a2处的横截面积为s2,流速为v2,高度为h2.思考下列问题:①a1处左边的流体对研究对象的压力f1的大小及方向如何②a2处右边的液体对研究对象的压力f2的大小及方向如何③设经过一段时间δt后(δt很小),这段流体的左端s1由a1移到b1,右端s2由a2移到b2,两端移动的距离分别为δl1和δl2,则左端流入的流体体积和右端流出的液体体积各为多大它们之间有什么关系为什么④求左右两端的力对所选研究对象做的功⑤研究对象机械能是否发生变化为什么⑥液体在流动过程中,外力要对它做功,结合功能关系,外力所做的功与流体的机械能变化间有什么关系推导过程:如图所示,经过很短的时间δt,这段流体的左端s1由a1移到b1,右端s2由a2移到b2,两端移动的距离为δl1和δl2,左端流入的流体体积为δv1=s1δl1,右端流出的体积为δv2=s2δl2.因为理想流体是不可压缩的,所以有δv1=δv2=δv作用于左端的力f1=p1s2对流体做的功为w1=f1δl1=p1·s1δl1=p1δv贝努利方程静压能与动能的转化公式：1/2*u^2=δp/ρδp=p2-p1;p1=0.1mpa（大气压）ρ为水的密度1000kg/m3。u为速度，m/sδp＝1/2*ρ*u^2p2＝0.1*1000000+1/2*ρ*u^2(pa)关于量纲：[kg/m^3*(m/s)^2]=[kg/(m*s^2)]记得牛顿第二定律f＝m*a吗？n＝kg*m/s^2，代入上式＝n/m^2=pa作用于右端的力f2=p2s2,它对流体做负功(因为右边对这段流体的作用力向左,而这段流体的位移向右),所做的功为w2=-f2δl2=-p2s2δl2=-p2δv两侧外力对所选研究液体所做的总功为w=w1+w2=(p1-p2)δv又因为我们研究的是理想流体的定常流动,流体的密度ρ和各点的流速v没有改变,所以研究对象(初态是a1到a2之间的流体,末态是b1到b2之间的流体)的动能和重力势能都没有改变.这样,机械能的改变就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能,即e2-e1=ρ()δv+ρg(h2-h1)δv又理想流体没有粘滞性,流体在流动中机械能不会转化为内能∴w=e2-e1(p1-p2)δv=ρ(-))δv+ρg(h2-h1)δv整理后得:整理后得:又a1和a2是在流体中任取的,所以上式可表述为上述两式就是伯努利方程.当流体水平流动时,或者高度的影响不显著时,伯努利方程可表达为该式的含义是:在流体的流动中,压强跟流速有关,流速v大的地方压强p小,流速v小的地方压强p大.伯努利方程（Bernoulliequation）

理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。因著名的瑞士科学家D.伯努利于1738年提出而得名。对于重力场中的不可压缩均质流体，方程为

p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C

式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度；z为铅垂高度；g为重力加速度。

上式各项分别表示单位体积流体的压力能p、重力势能ρgz和动能(1/2)*ρv^2，在沿流线运动过程中，总和保持不变，即总能量守恒。但各流线之间总能量（即上式中的常量值）可能不同。对于气体，可忽略重力，方程简化为p+(1/2)*ρv^2＝常量(p0)，各项分别称为静压、动压和总压。显然，流动中速度增大，压强就减小；速度减小，压强就增大；速度降为零，压强就达到最大(理论上应等于总压)。飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而压强大，上翼面速度高而压强小，因而合力向上。据此方程，测量流体的总压、静压即可求得速度，成为皮托管测速的原理。在无旋流动中，也可利用无旋条件积分欧拉方程而得到相同的结果但涵义不同，此时公式中的常量在全流场不变，表示各流线上流体有相同的总能量，方程适用于全流场任意两点之间。在粘性流动中，粘性摩擦力消耗机械能而产生热，机械能不守恒，推广使用伯努利方程时，应加进机械能损失项。

图为验证伯努利方程的空气动力实验。

补充：p1+1/2ρv1^2+ρgh1=p2+1/2ρv2^2+ρgh2（1）

p+ρgh+(1/2)*ρv^2=常量（2）

均为伯努利方程

其中ρv^2/2项与流速有关，称为动压强，而p和ρgh称为静压强。

伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。

流体在截面相同的明渠中流动时由伯努利方程推导出h1-h2=w/ρg时.为什么v1=v2,p1=p2啊。。。

明渠是一种具有自由表面水流的渠道(表面上各点受大气压强的作用)

表面都受大气作用，故p1=p2

设体积流量为Q，截面积为A，流速为v

由体积流量守恒有：Q1=A1v1=A2v2=Q2

因截面积相同，即A1=A2，∴有v1=v2

沈立明

1可压缩流体与不可压缩流体的区分

对于可压缩流体来说其体积大小随压力而变化，当压力增大时体积减小，压力减小时体积增大。此现象叫做可压缩流体的可压缩现象。流体流速与声音速度（

）的比（马赫数Ma）是表征可压缩性的重要参数。一般认为马赫数小于0.3为不可压缩流体。大于上述值时为可压缩流体。

02不可压缩流体伯努利方程

当某一直管段这种存在节流原件（如孔板、调节阀）时其内部流体的压力、速度分布会受到节流原件的影响。并且这些参数存在一定的相互关系。

稳态条件的连续流体在某一节封闭管道内符合质量守恒定律，即单位时间内流入的流量于流出的流量相等。其方程如下：

其中：ρ为平均密度；v为平均速度；A为流路的截面积

由上式可知节流面面积小于管道截面积故而流体在节流面的平均速度大于在管道内的平均速度。由于节流件后部流通面积增大这时流体速度开始降低。

因为流体中的能量不能平白的消失或者增加故而在流体通过节流孔时由速度改变而改变的动能一定转化为了其他形式的能量。根据能量守恒做如下推导。

设管中流体为理想流体在上图A-A断面处流到B-B断面处机械能的变化为：

流体在阀门中流动是由于其压力做功造成的。在A-A至B-B处压力做的功为：

因△W=△E,故而得出：

在不考虑压损等情况下的理想流体对于任意界面来说有：

当流体经过节流件时由于分离点的存在会使得整体能量会有一部分以热量的形式消失，并以压损的形式表现出来。从流体连续方程和上述方程可知当流体经过节流件时速度增加压力降低，在节流件后速度减小压力升高。如图所示

03可压缩流体伯努利方程

可压缩流体因其可压缩特性的原因使其流动特性较之不可压缩流体有了很大的区别。因为在不可压缩流体中其密度视为不变的，而可压缩流体随着温度和压力的改变密度也有了相应的改变。所以对于其伯努利方程的求解要考虑密度的影响

对于连续方程ρVA=常量做如下变形有

对上式微分有

对于伯努利方程有（在同一平面的情况下）

对上述微分有

综合声速公式可得

注：对于以上推导出的两个微分公式不仅适用于可压缩流体还适用于不可压缩流体。

对于可压缩流体密度不再为常数。因为气体流速较高所以气体流过阀门仪表时一般看做绝热过程。根据绝热方程

故而有

故而对与理想的可压缩流体伯努利方程为：

对于连续方程的微分方程有：

通过上式可知当气体小于声速时随着流通面积的减小速度增加，达到声速后随着随着流通面积的增加速度增大。同时也表明在压缩流体中速度和密度是一对矛盾体。当速度增加时密度减小，速度减小时密度增加。在亚声速时速度增加时主要的，在超过声速时密度减小时主要的。这也就是造成压缩流体和不可压缩流体流体流动特性不同的主要因素。

04下节内容预告

工作经历：在某化工厂参与过10万吨混合苯加氢、4万吨预处理、15万吨苯加氢、60万吨预处理的建设工作。在10万吨混合苯加氢、4万吨预处理、15万吨苯加氢项目中主要负责仪表的选型、技术沟通、技术协议的拟定、仪表安装、与设计院进行沟通、原始开工调试及后期运维等工作。60万吨预处理的仪表选型安装及与设计院沟通。